Naja, das ist schon irgendwie... seltsam.
Aber gut, immerhin ist der Diagnose Stecker da, und zwar scheinbar intakt und auch dort, wo er wirklich sein soll.

Das Theater mit der Werkstatt kannst Du vielleicht mal ordentlich dokumentiert (aber sachlich!) an Peugeot Scooter Deutschland schreiben.
Aber bitte im sachlichen Ton. Auch wenn der Frust gross ist. Bilder kannst Du ja mitsenden.
Hast Du was schriftliches von der Werkstatt da? Einscannen, mitsenden.

Und nun zum technischen Problem.
Die Batterie scheint ja total platt zu sein. Auch wenn die mal vor kurzem neu war, ich würde da nicht mehr viel dran machen.
Also aufladen oder neu befüllen... lieber sein lassen.

Jetzt wäre es wirklich spannend, wie sich Dein Roller bei einer wirklich neuen, voll aufgeladenen Batterie verhält.
Und zwar sollte die Batterie auch direkt vor dem Einbau bzw. Probe-Anschluss durchgemessen werden, ob da wirklich mind. 13 Volt rauskommen.
Die jetzige Batterie kannst Du ja beim Händler abgeben und hast somit beim Neukauf schon mal das Batterie-Pfand wieder raus.